Dirac delta függvény (disztribúció)

Vizsgáljuk meg a következő függvényt: \[f(x,a) = \left \{ \begin{array}{lll} 0 & \mbox{ha} & |x| > a \\ \frac{1}{2a} & \mbox{ha} & |x| \leq a \end{array} \right .\] A függvény integrálja az ábrán látható téglalp területével egyezik meg, amely \(a\) tetszőleges értéke mellett egységnyi lesz: \(\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x,a)dx = 1\). Ha \(a\) értéke közelít nullához, akkor a függvény nyilvánvalóan végtelenhez tart, de az integrálja ebben az esetben is egy lesz: \[\lim_{a\to 0} \int_{-\infty}^\infty f(x,a)dx = 1 \;.\] Nézzük meg, hogy mi lesz a következő integrál értéke: \[\lim_{a\to 0} \int_{-\infty}^\infty f(x,a)g(x)dx = ?\] ahol \(g(x)\)-ről feltételezzük, hogy folytonos függvény. Az integrál becsléséhez használjuk az integrál középérték tételt: vagyis létezik az \((-a,a)\) intervallumon egy \(x_0\) amelyre teljesül, hogy \[\int_{-\infty}^\infty f(x,a)g(x)dx = 2a g(x_0).\]

Ha \(a\) értékével nullához tartunk, akkor nyilván \[\lim_{a\to 0} \int_{-\infty}^\infty f(x,a)g(x)dx = g(0)\] Azt mondjuk, hogy a \(\displaystyle \lim_{a\to 0} f(x,a)\) határérték az u.n. Dirac delta egy előállításat adja: \[\lim_{a\to 0} f(x,a) = \delta(x)\;.\] A Dirac delta disztribúciót az integrálján keresztül értelmezhetjük: \[\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} g(x)\delta(x-x_0)dx = g(x_0)\;,\] ahol \(\varepsilon\) tetszőlegesen kicsiny valós szám. A fenti definícióból következik, hogy \[\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} \delta(x-x_0)dx = 1 \;.\] Az integrál segítségével értelmezhetjük a Dirac delta deriváltját is, egy parciális integrál seg1tségével: \[\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} g(x)\delta^\prime(x-x_0) dx = g(x_0+\varepsilon)\delta(\varepsilon)-g(x-\varepsilon)\delta(-\varepsilon) - \int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} g^\prime(x)\delta(x-x_0)\] A fenti egyenletben \(\delta(\varepsilon)\) és \(\delta(-\varepsilon)\) eltünik, hiszen a Dirac delta csak a nullánál különbözik nullától, így \[\int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} g(x)\delta^\prime(x-x_0) dx = - \int_{x_0-\varepsilon}^{x_0+\varepsilon} g^\prime(x)\delta(x-x_0) = g^\prime(x_0) \; .\] Nézzük meg a következő integrált: \[\int_a^b f(x) \delta(g(x))dx =\] Alkalmazzuk az \(z = g(x)\) helyettesítést, ekkor \(\displaystyle dx = \frac{dz}{|g^\prime(x)|}\): \[\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(g(x))dx = \int_{-\infty}^\infty f(x)\frac{\delta(z)}{|g^\prime(x)|}dz\] A Dirac delta kicsippenti azokat az értékeket, ahol az argumentuma nulla lesz, így \[\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(g(x))dx = \sum_i \frac{f(x_i)}{|g^\prime(x_i)|} \;,\] ahol \(x_i\) a \(g(x)\) függvény zérushelyeit jelöli. Nézzük meg a következő példát: \[\int_0^\infty e^{-x} \delta(\sin(x))dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{e^{-n\pi}}{|\cos(n\pi)|} = \sum_{n=0}^\infty e^{-n\pi} = \frac{1}{1-e^{-\pi}}\;,\] ahol kihasználtuk, hogy a \(\sin(x)\) függvénynek \(n\pi\) a zérushelyei és \(|\cos(n\pi)|=1\), valamint felhasználtuk a geometriai sorra vonatkozó összegszabályt.


A Dirac delta néhány más előállítása: